Bài 1. Tập hợp

Ý đồ là kiểm tra từng số xem có đúng hai chữ số hay không, từ đó dùng kí hiệu $\in$, $\notin$ để kết luận.

Vậy $15\in S$, $99\in S$ và $7\notin S$, $106\notin S$.

Ý đồ là thay việc đếm số chữ số bằng cách kiểm tra trực tiếp bất đẳng thức $10\le x\le 99$ — đây chính là điều kiện để $x$ là số tự nhiên có hai chữ số.

Vậy $15\in S$, $99\in S$ và $7\notin S$, $106\notin S$, khớp với Cách 1.

Ý đồ là đếm gián tiếp bằng phép chia: một số tự nhiên có hai chữ số khi và chỉ khi chia nó cho $10$ được thương là số tự nhiên từ $1$ đến $9$.

Vậy $15\in S$, $99\in S$ và $7\notin S$, $106\notin S$, khớp với hai cách trên.

Ý đồ là đối chiếu lần lượt bốn phần tử $a,d,t,y$ với danh sách phần tử của $A$ và của $B$.

Vậy $a\in A$, $a\notin B$; $d\notin A$, $d\notin B$; $t\notin A$, $t\notin B$; $y\in B$, $y\notin A$.

Ý đồ là liệt kê hết các phần tử đã biết của cả $A$ và $B$ thành một danh sách chung, rồi đối chiếu bốn phần tử $a,d,t,y$ với danh sách đó một lần, thay vì so với từng tập riêng lẻ.

Vậy $a\in A,a\notin B$; $d\notin A,d\notin B$; $t\notin A,t\notin B$; $y\in B,y\notin A$, khớp với Cách 1.

Ý đồ là vẽ sơ đồ Ven cho hai tập hợp rồi đặt từng phần tử vào đúng chỗ, nhìn vị trí là đọc ra ngay kết luận thuộc hay không thuộc.

Vậy $a\in A,a\notin B$; $d\notin A,d\notin B$; $t\notin A,t\notin B$; $y\in B,y\notin A$, khớp với hai cách trên.

Ý đồ là tách các chữ cái tạo nên từ "THĂNG LONG", mỗi chữ cái chỉ ghi một lần dù lặp lại nhiều lần trong từ.

Vậy C = {T; H; Ă; N; G; L; O}, tập hợp $C$ có $7$ phần tử.

Ý đồ là mô tả tập hợp $C$ theo dấu hiệu đặc trưng thay vì liệt kê từng chữ cái, để đối chiếu hai cách viết một tập hợp.

Vậy $C$ là tập hợp các chữ cái có mặt trong từ "THĂNG LONG"; cách mô tả này cho cùng một tập hợp với kết quả liệt kê ở Cách 1.

Ý đồ là tách cụm từ thành hai tiếng, viết tập chữ cái của từng tiếng rồi gộp lại, làm vậy thì cụm từ dài mấy cũng khó sót chữ.

Vậy C = {T; H; Ă; N; G; L; O}, tập hợp $C$ có $7$ phần tử, khớp với hai cách trên.

Ý đồ là xác định đúng ba tháng thuộc quý II rồi liệt kê số thứ tự các tháng đó thành một tập hợp.

Vậy $Q=\{4;5;6\}$ (tháng 4, tháng 5, tháng 6), tập hợp $Q$ có $3$ phần tử.

Ý đồ là mô tả $Q$ bằng tính chất đặc trưng thay vì liệt kê từng tháng.

Vậy $Q=\{n\in \mathbb{N}\mid 4\le n\le 6\}$, cách viết này biểu diễn cùng một tập hợp với Cách 1.

Ý đồ là khỏi phải nhớ thuộc lòng từng quý mà tính ra mốc tháng: năm có $12$ tháng chia đều cho $4$ quý nên mỗi quý gồm $3$ tháng liên tiếp.

Vậy $Q=\{4;5;6\}$, tập hợp $Q$ có $3$ phần tử, khớp với hai cách trên.

Ý đồ là duyệt các số tự nhiên nhỏ hơn $20$ và giữ lại những số chia hết cho $5$.

Vậy $M=\{0;5;10;15\}$.

Ý đồ là sinh trực tiếp các bội của $5$ theo công thức $5k$ rồi giới hạn theo điều kiện nhỏ hơn $20$.

Vậy $M=\{0;5;10;15\}$, trùng khớp với Cách 1.

Ý đồ là dùng dấu hiệu chia hết cho $5$ — số chia hết cho $5$ là số có chữ số tận cùng bằng $0$ hoặc bằng $5$ — để nhặt phần tử mà khỏi phải thử phép chia.

Vậy $M=\{0;5;10;15\}$, khớp với hai cách trên.

Ý đồ là tìm quy luật chung cho cả năm phần tử của $P$ để viết thành một tính chất đặc trưng.

Vậy $P=\left\{\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\le 5\right\}$.

Ý đồ là mô tả trực tiếp tập giá trị mà $n$ có thể nhận thay vì dùng bất đẳng thức.

Vậy $P=\left\{\frac{1}{n}|n\in \{1;2;3;4;5\}\right\}$, cách viết này tương đương với Cách 1.

Ý đồ là đặt điều kiện thẳng lên phần tử $x$ của tập hợp thay vì mượn một tham số $n$ đặt ở mẫu số, bằng cách nhìn vào nghịch đảo của $x$.

Vậy $P$ là tập hợp các số $x$ sao cho $\frac{1}{x}$ là số tự nhiên khác $0$ và không vượt quá $5$; cách mô tả này cho cùng một tập hợp với Cách 1.

Ý đồ là thay lần lượt các giá trị của $k$ vào công thức $n=2k+1$ để tìm phần tử của $L$, sau đó nhận ra quy luật chung để mô tả $L$ theo cách khác.

Vậy bốn phần tử thuộc $L$ là $1;3;5;7$, hai phần tử không thuộc $L$ là $0$ và $2$; có thể mô tả lại tập hợp $L$ là tập hợp các số tự nhiên lẻ.

Ý đồ là dùng tính chất "số dạng $2k+1$ với $k\in \mathbb{N}$ luôn là số lẻ, và ngược lại mọi số lẻ đều viết được dưới dạng đó" để suy ra ngay $L$ là tập số tự nhiên lẻ, không cần lập bảng thay số.

Vậy có thể chọn bốn phần tử thuộc $L$ là $9;11;13;15$ và hai phần tử không thuộc $L$ là $4;6$; mô tả lại: $L=\{n\in \mathbb{N}\mid n$ là số lẻ$\}$ — cùng một tập hợp với Cách 1, chỉ khác ví dụ minh hoạ.

Ý đồ là nhìn các phần tử của $L$ trên tia số: mỗi lần $k$ tăng thêm $1$ thì $n=2k+1$ tăng thêm $2$, nên các phần tử của $L$ nằm cách đều nhau $2$ đơn vị kể từ điểm $1$.

Vậy bốn phần tử thuộc $L$ là $1;3;5;7$, hai phần tử không thuộc $L$ là $0$ và $2$; mô tả lại $L=\{n\in \mathbb{N}\mid n$ chia cho $2$ dư $1\}$, khớp với hai cách trên.