Bài 2. Cách ghi số tự nhiên

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{ab}$, trong đó $a$ là chữ số hàng chục ($1\le a\le 9$) và $b$ là chữ số hàng đơn vị ($0\le b\le 9$); theo đề bài $a$ và $b$ liên hệ với nhau bởi hiệu $a-b=9$, ta cần tìm giá trị của $a$ và $b$.

Vậy số cần tìm là $\overline{ab}=90$.

Ta thử trực tiếp từng giá trị của chữ số hàng chục $a$ (từ $9$ giảm dần) và tính chữ số hàng đơn vị $b=a-9$ để kiểm tra $b$ có phải là chữ số hợp lệ hay không.

Vậy số cần tìm là $90$.

Hiệu của hai chữ số không bao giờ vượt quá $9-0=9$, mà đề lại cho hiệu đúng bằng $9$, nên cả hai chữ số buộc phải nhận giá trị ở hai đầu mút.

Vậy số cần tìm là $90$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{ab}$ với $a$ là chữ số hàng chục ($1\le a\le 9$), $b$ là chữ số hàng đơn vị ($0\le b\le 9$); theo đề bài $b-a=3$, ta lập bảng giá trị của $a$ và $b$ rồi loại các trường hợp $b$ vượt quá $9$.

Vậy $A=\{14;25;36;47;58;69\}$.

Ta liệt kê trực tiếp các số có hai chữ số, kiểm tra từng số xem chữ số hàng đơn vị có lớn hơn chữ số hàng chục đúng $3$ đơn vị hay không.

Vậy $A=\{14;25;36;47;58;69\}$.

Ta viết thẳng giá trị của số $\overline{ab}$ theo riêng chữ số hàng chục để thấy các số cần tìm lập thành một dãy cách đều, nhờ đó vừa liệt kê vừa kiểm soát được không sót số nào.

Vậy $A=\{14;25;36;47;58;69\}$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Để một số có $6$ chữ số là lớn nhất thì mỗi vị trí (mỗi hàng) của nó phải mang chữ số lớn nhất có thể, tức là chữ số $9$.

Vậy số tự nhiên lớn nhất có $6$ chữ số là $999999$.

Ý đồ là dùng mốc "số tự nhiên nhỏ nhất có 7 chữ số" để suy ra ngay số lớn nhất có 6 chữ số là số liền trước nó, không cần chọn từng chữ số.

Vậy số tự nhiên lớn nhất có $6$ chữ số là $999999$, khớp với Cách 1.

Ta dựng giá trị của số cần tìm bằng cách cho mỗi hàng nhận giá trị lớn nhất rồi cộng lại, thay vì viết thẳng dãy chữ số — nhờ vậy số chữ số được kiểm soát bằng số hạng của tổng.

Vậy số tự nhiên lớn nhất có $6$ chữ số là $999999$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Để số có $6$ chữ số khác nhau là lớn nhất, ta lần lượt chọn cho mỗi hàng (từ hàng cao nhất) chữ số lớn nhất còn chưa dùng, tức là chọn $6$ chữ số lớn nhất trong các chữ số $0,1,\dots ,9$ rồi xếp theo thứ tự giảm dần.

Vậy số tự nhiên lớn nhất có $6$ chữ số khác nhau là $987654$.

Ta chọn từng chữ số từ trái sang phải: ở mỗi hàng, chọn chữ số lớn nhất trong các chữ số chưa dùng để đảm bảo số tạo thành là lớn nhất.

Vậy số cần tìm là $987654$.

Thay vì dựng số, ta chứng tỏ mọi số có $6$ chữ số đôi một khác nhau đều không vượt quá $987654$ bằng cách so sánh lần lượt từ hàng cao nhất, rồi kiểm tra $987654$ đúng là một số như thế.

Vậy số tự nhiên lớn nhất có $6$ chữ số khác nhau là $987654$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Ý a) yêu cầu số dùng đúng cả ba chữ số $0,4,9$ (mỗi chữ số một lần, không lặp); ý b) yêu cầu số có ba chữ số mà mỗi chữ số chỉ cần thuộc $P$, được phép lặp lại. Vì là số có ba chữ số nên chữ số hàng trăm luôn khác $0$.

Vậy ý a) có các số $409;490;904;940$; ý b) có $18$ số là $400,404,409,440,444,449,490,494,499,900,904,909,940,944,949,990,994,999$.

Ý a) đổi góc nhìn: đếm số hoán vị của $3$ chữ số $0,4,9$ rồi trừ đi các hoán vị không hợp lệ (có $0$ đứng đầu), thay vì xét trực tiếp từng trường hợp hàng trăm.

Vậy ý a) có $4$ số là $409;490;904;940$; ý b) có $18$ số, khớp với Cách 1.

Ta làm ngược thứ tự đề: giải ý b) trước bằng cách lập bảng theo chữ số hàng trăm, sau đó lọc ngay trong bảng ấy những số dùng đủ cả ba chữ số $0,4,9$ để trả lời ý a).

Vậy ý a) có bốn số $409;490;904;940$; ý b) có $18$ số, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc}$ với $a,b,c\in \mathbb{N}$, $1\le a\le 9$, $0\le b,c\le 9$ và $a+b+c=4$. Vì $a\ge 1$ nên ta xét lần lượt $a=4,3,2,1$ (do $a\le 4$) rồi liệt kê các cặp $(b,c)$ tương ứng.

Vậy tập hợp cần tìm là $\{400;310;301;220;211;202;130;121;112;103\}$, gồm $10$ số.

Thay vì xét lần lượt từng giá trị của $a$ rồi tìm cặp $(b,c)$, ta đặt $s=b+c$ và suy ra $a=4-s$, sau đó xét $s$ tăng dần từ $0$ đến $3$ (vì $a=4-s\ge 1$ nên $s\le 3$).

Vậy tập hợp cần tìm là $\{103;112;121;130;202;211;220;301;310;400\}$, gồm $10$ số, khớp với Cách 1.

Ta nhóm theo chữ số hàng đơn vị $c$: ứng với mỗi $c$ thì $a+b=4-c$ và chữ số hàng trăm $a$ chạy từ $1$ đến $4-c$, nên biết trước mỗi nhóm có bao nhiêu số rồi mới liệt kê, nhờ đó phát hiện ngay nếu sót.

Vậy tập hợp cần tìm là $\{103;112;121;130;202;211;220;301;310;400\}$, gồm $10$ số, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Gọi số $n$ có ba chữ số là $n=\overline{abc}=100a+10b+c$ (với $a,b,c\in \mathbb{N}$, $1\le a\le 9$, $0\le b,c\le 9$). Khi thêm một chữ số vào bên phải hoặc bên trái, mỗi chữ số cũ bị đẩy sang một hàng khác nên giá trị của $n$ cũng thay đổi theo.

Vậy a) số mới là $\overline{abc0}$, có giá trị bằng $10n$; b) số mới là $\overline{1abc}$, có giá trị bằng $1000+n$.

Ý đồ là thử trước với một số cụ thể để thấy rõ quy luật, sau đó khái quát lại bằng công thức, thay vì lập công thức tổng quát ngay từ đầu.

Vậy a) số mới bằng $10n$; b) số mới bằng $1000+n$, khớp với Cách 1.

Ta nhìn từ số mới trở về số cũ: xoá đúng chữ số vừa viết thêm thì phải trả lại $n$, từ đó nhận ra ngay phép tính đã tác động lên $n$ mà không cần khai triển tổng.

Vậy a) số mới bằng $10n$; b) số mới bằng $1000+n$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Vì $9$ là chữ số lớn nhất trong các chữ số, nên để số mới lớn nhất ta đặt $9$ vào hàng cao nhất (ngoài cùng bên trái); để số mới nhỏ nhất ta đặt $9$ vào hàng thấp nhất (ngoài cùng bên phải).

Vậy a) số lớn nhất là $9812574$; b) số nhỏ nhất là $8125749$.

Ta thử chèn chữ số $9$ lần lượt vào cả $7$ vị trí có thể của số $812574$ (trước chữ số $8$, giữa hai chữ số bất kì, hoặc sau chữ số $4$), rồi so sánh các số nhận được để tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất.

Vậy a) số lớn nhất là $9812574$; b) số nhỏ nhất là $8125749$.

Bảy số tạo được đều có $7$ chữ số nên so sánh chúng bằng cách xét hàng cao nhất trước; hàng nào phân định được thì loại ngay các số còn lại, khỏi phải viết hết bảy số ra rồi so sánh.

Vậy a) số lớn nhất là $9812574$; b) số nhỏ nhất là $8125749$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Muốn số mới lớn nhất, ta chèn $6$ vào ngay trước chữ số đầu tiên (tính từ trái sang phải) nhỏ hơn $6$; muốn số mới nhỏ nhất, ta chèn $6$ vào ngay trước chữ số đầu tiên lớn hơn $6$.

Vậy a) số lớn nhất là $8612574$; b) số nhỏ nhất là $6812574$.

Ta thử chèn chữ số $6$ vào lần lượt cả $7$ vị trí có thể của số $812574$, rồi so sánh các số nhận được.

Vậy a) số lớn nhất là $8612574$; b) số nhỏ nhất là $6812574$.

Hai số chỉ khác nhau ở chỗ chữ số $6$ đứng trước hay đứng sau chữ số $y$ thì hơn kém nhau $9\times (y-6)$ lần giá trị của hàng, nên chỉ cần nhìn $y$ lớn hay nhỏ hơn $6$ là biết dời chữ số $6$ sang phải làm số tăng hay giảm.

Vậy a) số lớn nhất là $8612574$; b) số nhỏ nhất là $6812574$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Ta đọc lần lượt từng chữ số của số $728031$ theo đúng thứ tự hàng của nó, từ hàng trăm nghìn đến hàng đơn vị, rồi nhân mỗi chữ số với giá trị của hàng tương ứng.

Vậy $728031=700000+20000+8000+0+30+1$, đúng với bảng đã hoàn thiện ở trên.

Ý đồ là viết số $728031$ dưới dạng tổng các số hạng có luỹ thừa của $10$, mỗi luỹ thừa $10^k$ ứng với một hàng, từ đó đọc ra chữ số và giá trị của từng hàng.

Vậy các chữ số theo hàng lần lượt là $7,2,8,0,3,1$ với giá trị $700000;20000;8000;0;30;1$, khớp với Cách 1.

Ta lấy số đã cho chia cho giá trị của hàng cao nhất để được chữ số của hàng ấy, rồi lại lấy số dư chia cho giá trị của hàng kế tiếp, cứ thế đi xuống tới hàng đơn vị nên không thể lệch hàng.

Vậy chữ số các hàng lần lượt là $7,2,8,0,3,1$ với giá trị $700000;20000;8000;0;30;1$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Ta xác định từng chữ số của số $2975002$ theo đúng hàng của nó (từ hàng triệu đến hàng đơn vị) rồi nhân mỗi chữ số với giá trị của hàng tương ứng, sau đó cộng lại.

Vậy $2975002=2\times 1000000+9\times 100000+7\times 10000+5\times 1000+0\times 100+0\times 10+2\times 1$.

Ý đồ là tách từng chữ số từ phải sang trái bằng phép chia lấy dư cho $10$, thay vì đọc trực tiếp từng chữ số theo hàng như Cách 1.

Vậy $2975002=2\times 1000000+9\times 100000+7\times 10000+5\times 1000+0\times 100+0\times 10+2\times 1$, khớp với Cách 1.

Ta đọc số theo từng lớp ba chữ số đúng như khi đọc thành lời, tách $2975002$ thành phần triệu, phần nghìn và phần đơn vị, rồi mới tách tiếp mỗi lớp thành các hàng của nó.

Vậy $2975002=2\times 1000000+9\times 100000+7\times 10000+5\times 1000+0\times 100+0\times 10+2\times 1$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Ta tách mỗi số La Mã thành các nhóm kí hiệu quen thuộc ($X=10$, $IV=4$, $VI=6$, $IX=9$, $XX=20$, $I=1$) rồi cộng giá trị các nhóm lại với nhau.

Vậy $XIV=14,XVI=16,XIX=19,XXI=21$.

Ý đồ là xét từng kí hiệu La Mã một, cộng giá trị của nó nếu nó không nhỏ hơn kí hiệu đứng ngay sau, và trừ đi nếu nó nhỏ hơn kí hiệu đứng ngay sau — quy tắc tổng quát của số La Mã.

Vậy $XIV=14,XVI=16,XIX=19,XXI=21$, khớp với Cách 1.

Cả bốn số đều nằm trong khoảng từ $11$ đến $30$, nên ta viết bảng số La Mã liên tiếp trong khoảng ấy rồi tra thẳng, vừa nhanh vừa kiểm tra chéo được kết quả của hai cách trên.

Vậy $XIV=14,XVI=16,XIX=19,XXI=21$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Ta phân tích mỗi số thành tổng của các giá trị La Mã cơ bản ($10=X$, $5=V$, $4=IV$, $1=I$) rồi ghép các kí hiệu lại theo đúng thứ tự từ lớn đến nhỏ.

Vậy $14=XIV,24=XXIV,26=XXVI$.

Ý đồ là ở mỗi bước trừ đi giá trị La Mã lớn nhất có thể mà không âm, ghi kí hiệu tương ứng, rồi lặp lại với phần còn lại, thay vì phân tích tổng ngay từ đầu.

Vậy $14=XIV,24=XXIV,26=XXVI$, khớp với Cách 1.

Số La Mã viết phần chục trước, phần đơn vị sau, nên ta lập sẵn hai bảng nhỏ — bảng hàng chục $10=X$, $20=XX$, $30=XXX$ và bảng hàng đơn vị từ $1=I$ đến $9=IX$ — rồi chỉ việc ghép hai mảnh lại.

Vậy $14=XIV,24=XXIV,26=XXVI$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Phép cộng đã cho là $IV+V=XI$, tức $4+5=11$, là phép cộng sai vì $4+5=9$ chứ không phải $11$. Ta thử chuyển một que tính từ số $XI$ sang một trong hai số hạng để phép cộng trở thành đúng.

Vậy cách thứ nhất: chuyển một que ở số $XI$ để được $IV+V=IX$ (tức $4+5=9$).

Ta thử chuyển một que tính từ số $IV$ sang phía bên kia của chính nó để tăng giá trị số hạng thứ nhất, rồi kiểm tra tổng với $V$ có bằng $XI$ hay không.

Vậy cách thứ hai: chuyển một que ở số $IV$ để được $VI+V=XI$ (tức $6+5=11$).

Vế trái là $4+5=9$ còn vế phải là $11$, hai vế lệch nhau $2$ đơn vị; muốn phép tính đúng thì phép đổi một que phải làm vế phải giảm $2$ hoặc làm vế trái tăng $2$, cứ theo hai hướng ấy mà tìm.

Vậy có $2$ cách đổi que là $IV+V=IX$ và $VI+V=XI$, khớp với Cách 1 và Cách 2.