Bài 3. Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên

Muốn biểu diễn một số tự nhiên trên tia số, ta đếm từ gốc $O$ theo chiều mũi tên đủ số đơn vị bằng đúng số đó rồi đánh dấu điểm dừng.

Vậy trên tia số, điểm $A$ cách $O$ $7$ đơn vị biểu diễn số $7$, điểm $B$ cách $O$ $11$ đơn vị biểu diễn số $11$.

Khi vẽ trên giấy trắng không có ô li thì đếm vạch rất dễ lệch; thay vào đó chọn hẳn một đơn vị đo cụ thể trên thước, chẳng hạn $1$ đơn vị ứng với $1cm$, rồi đo trực tiếp khoảng cách từ gốc là đặt được điểm ngay.

Vậy điểm $A$ biểu diễn số $7$, điểm $B$ biểu diễn số $11$, khớp với Cách 1.

Trước khi đọc số tại từng điểm, phải tìm xem mỗi khoảng chia trên tia số ứng với bao nhiêu đơn vị, dựa vào điểm đã biết trước là điểm $10$.

Vậy điểm $E$ biểu diễn số $20$, điểm $F$ biểu diễn số $35$, điểm $G$ biểu diễn số $45$.

Có thể đọc ba điểm mà không cần tính giá trị của một khoảng chia: cứ hai khoảng liền nhau thì ứng với $10$ đơn vị, nên ta ghi số cho các vạch chẵn bằng cách cộng dồn $10$, còn vạch lẻ thì nằm chính giữa hai vạch chẵn kề nó.

Vậy điểm $E$ biểu diễn số $20$, điểm $F$ biểu diễn số $35$, điểm $G$ biểu diễn số $45$, khớp với Cách 1.

Khi đã đọc được một điểm thì các điểm sau chỉ cần cộng thêm phần chênh lệch: đếm xem điểm sau hơn điểm trước mấy khoảng chia rồi cộng thêm đúng bấy nhiêu, khỏi phải đếm lại từ gốc mỗi lần — cách này đỡ nhầm khi tia số có nhiều điểm.

Vậy điểm $E$ biểu diễn số $20$, điểm $F$ biểu diễn số $35$, điểm $G$ biểu diễn số $45$, khớp với Cách 1.

Số ghi trên cột là khoảng cách từ vị trí đặt cột đến điểm gốc km0, còn dòng "Sơn La 168" là quãng đường còn lại phải đi tiếp từ chỗ đặt cột đến Sơn La.

Vậy khi đứng ở cột cây số đó, còn phải đi $168$ km nữa mới đến Sơn La; trên tia số gốc $O$ ứng với km0, điểm $H$ ứng với số $134$ và điểm $S$ ứng với số $302$.

Vẫn là phép cộng hai quãng đường nối tiếp, nhưng thay vì đặt tính dọc, ta tách số hạng sau thành hai phần sao cho phần đầu bù $134$ lên tròn trăm; khi ấy cộng nhẩm được ngay và đọc luôn được vị trí trung gian trên tia số.

Vậy còn phải đi $168$ km nữa mới đến Sơn La; trên tia số gốc km0, điểm $S$ ứng với số $302$, khớp với Cách 1.

Đề đã cho sẵn bốn điểm A, B, C, D nằm theo đúng thứ tự từ trái sang phải trên tia số, nên việc phải làm chỉ là sắp xếp bốn số theo thứ tự tăng dần rồi gán lần lượt cho bốn điểm.

Vậy điểm A biểu diễn số $54902$, điểm B biểu diễn số $55699$, điểm C biểu diễn số $55789$, điểm D biểu diễn số $55806$.

Thay vì so trực tiếp từng cặp số rối mắt, ta chèn thêm những số tròn nghìn, tròn trăm nằm xen giữa chúng; so một số với số tròn thì rất nhanh, và khi đã xâu được tất cả vào một dây bất đẳng thức thì thứ tự bốn số hiện ra ngay.

Vậy điểm A biểu diễn số $54902$, điểm B biểu diễn số $55699$, điểm C biểu diễn số $55789$, điểm D biểu diễn số $55806$, khớp với Cách 1.

Bốn số đều nằm quanh $54000$ nên phần hàng chục nghìn là giống nhau; cùng trừ cả bốn số cho $54000$ thì thứ tự lớn bé giữa chúng không đổi mà các số còn lại ngắn hơn hẳn, so sánh nhẹ hơn nhiều.

Vậy điểm A biểu diễn số $54902$, điểm B biểu diễn số $55699$, điểm C biểu diễn số $55789$, điểm D biểu diễn số $55806$, khớp với Cách 1.

Mỗi cột của biểu đồ cho biết số ca nhiễm của đúng một ngày, nên chỉ cần đọc chiều cao từng cột rồi so sánh các số đọc được với nhau.

Vậy: a) ngày $26/3$ có $5$ ca, ngày $23/3$ và $3/4$ có $10$ ca, ngày $30/3$ có $15$ ca; b) ngày $22/3$ nhiều ca nhất với $19$ ca, ngày $6/4$ ít ca nhất với $0$ ca; c) vì bốn ngày cuối $3/4$; $4/4$; $5/4$; $6/4$ có số ca giảm dần $10>3>1>0$.

Nhìn thẳng trên biểu đồ thì khó so nhiều cột một lúc, nên chuyển toàn bộ số liệu sang một bảng ngày và số ca rồi sắp các số ca theo thứ tự giảm dần; lúc đó cả ba câu hỏi đều đọc được từ bảng mà không phải nhìn lại hình.

Vậy: a) ngày $26/3$ có $5$ ca, ngày $23/3$ và $3/4$ có $10$ ca, ngày $30/3$ có $15$ ca; b) ngày $22/3$ nhiều ca nhất với $19$ ca, ngày $6/4$ ít ca nhất với $0$ ca; c) vì bốn ngày cuối có số ca giảm dần $10>3>1>0$, khớp với Cách 1.

Bốn tập hợp chỉ khác nhau ở hai chỗ: có lấy số $0$ hay không (tuỳ $\mathbb{N}$ hay ${\mathbb{N}}^{\ast }$) và có lấy số $10$ hay không (tuỳ dấu $<$ hay $\le$), nên xét lần lượt bốn trường hợp rồi liệt kê các số chẵn thoả mãn.

Vậy $A=\{0;2;4;6;8\}$; $B=\{0;2;4;6;8;10\}$; $C=\{2;4;6;8\}$; $D=\{2;4;6;8;10\}$.

Mọi số chẵn đều viết được thành $x=2k$ với $k$ là số tự nhiên, nên điều kiện đặt lên $x$ chuyển hết thành điều kiện đặt lên $k$; tìm $k$ nhẹ hơn vì cận chặn nhỏ đi một nửa, và cách này vẫn dùng tốt khi cận chặn rất lớn.

Vậy $A=\{0;2;4;6;8\}$; $B=\{0;2;4;6;8;10\}$; $C=\{2;4;6;8\}$; $D=\{2;4;6;8;10\}$, khớp với Cách 1.

Bốn tập chỉ hơn kém nhau đúng hai phần tử là $0$ và $10$: so với $A$ thì $B$ có thêm $10$ vì dấu chặn là $\le$, còn $C$ bớt $0$ vì lấy trên ${\mathbb{N}}^{\ast }$, và $D$ vừa bớt $0$ vừa thêm $10$. Vì vậy chỉ cần liệt kê thật chắc tập $A$ rồi thêm bớt đúng hai phần tử ấy là ra ba tập còn lại, khỏi phải xét lại điều kiện từ đầu bốn lần.

Vậy $A=\{0;2;4;6;8\}$; $B=\{0;2;4;6;8;10\}$; $C=\{2;4;6;8\}$; $D=\{2;4;6;8;10\}$, khớp với Cách 1.

Phần tử của $P$ không phải là $x$ mà là $\frac{1}{x}$, nên trước hết phải tìm hết các số tự nhiên $x$ khác $0$ và nhỏ hơn $5$, sau đó mới thay vào $\frac{1}{x}$ để liệt kê phần tử của $P$.

Vậy $P=\left\{1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}\right\}$.

Sau khi liệt kê thì phải chắc chắn bốn phần tử viết ra là đôi một khác nhau và không sót giá trị nào; dựa vào nhận xét hai phân số cùng tử số $1$ thì phân số nào mẫu lớn hơn sẽ nhỏ hơn, ta xếp các phần tử thành một dãy giảm dần rồi soi lại.

Vậy $P=\left\{1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}\right\}$, khớp với Cách 1.