Bài 9. Dấu hiệu chia hết

Một số chia hết cho cả $2$ và $3$ phải đồng thời thỏa hai dấu hiệu: chữ số tận cùng là chữ số chẵn, và tổng các chữ số chia hết cho $3$.

Vậy trong bốn số đã cho, hai số chia hết cho cả $2$ và $3$ là $2022$ và $3306$.

Có thể kiểm tra bằng cách thực hiện phép chia mỗi số cho $2$ rồi cho $3$, không cần qua dấu hiệu.

Vậy hai số chia hết cho cả $2$ và $3$ là $2022$ và $3306$, khớp với kết quả ở Cách 1.

Một số chia hết cho cả $2$ và $3$ khi và chỉ khi trong phân tích ra thừa số nguyên tố của nó có mặt đủ hai thừa số nguyên tố $2$ và $3$.

Vậy $2022$ và $3306$ chia hết cho cả $2$ và $3$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Số chia hết cho cả $3$ và $5$ phải có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$, đồng thời tổng các chữ số chia hết cho $3$.

Vậy trong bốn số đã cho, chỉ có $2010$ chia hết cho cả $3$ và $5$.

Kiểm tra bằng cách chia trực tiếp mỗi số cho $5$ rồi cho $3$.

Vậy chỉ có $2010$ chia hết cho cả $3$ và $5$, khớp với Cách 1.

Một số chia hết cho cả $3$ và $5$ khi và chỉ khi phân tích ra thừa số nguyên tố của nó có mặt đủ hai thừa số $3$ và $5$.

Vậy chỉ có $2010$ chia hết cho cả $3$ và $5$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Số chia hết cho cả $2$ và $9$ phải có chữ số tận cùng là chữ số chẵn, đồng thời tổng các chữ số chia hết cho $9$.

Vậy trong bốn số đã cho, chỉ có $2340$ chia hết cho cả $2$ và $9$.

Trước tiên loại các số lẻ vì không thể chia hết cho $2$, sau đó chia trực tiếp các số còn lại cho $9$.

Vậy chỉ có $2340$ chia hết cho cả $2$ và $9$, khớp với Cách 1.

Một số chia hết cho cả $2$ và $9=3^2$ khi và chỉ khi phân tích ra thừa số nguyên tố của nó có thừa số $2$ và có thừa số $3$ với số mũ ít nhất là $2$.

Vậy chỉ có $2340$ chia hết cho cả $2$ và $9$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Không cần tính giá trị cụ thể, chỉ cần xét tính chẵn lẻ (chia hết cho $2$ hay không) của từng số hạng rồi áp dụng tính chất của tổng, hiệu.

Vậy $2020+2022$ chia hết cho $2$, còn $2021^3-2020^3$ không chia hết cho $2$.

Có thể chỉ xét chữ số tận cùng cho câu a, và dùng hằng đẳng thức $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ để phân tích câu b theo một hướng khác.

Vậy $2021^3-2020^3$ bằng $1$ nhân với một số lẻ nên là số lẻ, không chia hết cho $2$ — kết quả khớp với Cách 1.

Xét chữ số tận cùng của từng số hạng để biết số đó có chia hết cho $5$ hay không, rồi áp dụng tính chất của tổng, hiệu.

Hai số $2025^5$ và $2020^4$ đều chia hết cho $5$ nên hiệu của chúng cũng chia hết cho $5$. Vậy $2020+2021$ không chia hết cho $5$, còn $2025^5-2020^4$ chia hết cho $5$.

Câu a có thể xét trực tiếp chữ số tận cùng của tổng; câu b có thể coi mỗi lũy thừa là một tích nhiều thừa số bằng cơ số.

Áp dụng tính chất hiệu hai số cùng chia hết cho $5$ thì hiệu cũng chia hết cho $5$, ta lại được $2025^5-2020^4⋮5$, khớp với kết quả ở Cách 1.

Gọi số người của nhóm nhảy là $n$ (người), $n$ là số nguyên dương; cần tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy nhóm nhảy cần ít nhất $15$ người.

Có thể liệt kê trực tiếp các bội của $3$ và các bội của $5$ rồi tìm số nhỏ nhất xuất hiện ở cả hai dãy.

Vậy nhóm nhảy cần ít nhất $15$ người, khớp với kết quả ở Cách 1.

Có thể tìm $\text{BCNN}(3,5)$ bằng công thức $\text{BCNN}(a,b)=(a\times b):\text{UCLN}(a,b)$, trong đó ƯCLN tính bằng thuật toán Euclid (chia liên tiếp lấy số dư).

Vậy nhóm nhảy cần ít nhất $15$ người, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Chữ số hàng nghìn không được là $0$. Với mỗi câu, trước tiên chọn chữ số tận cùng thỏa dấu hiệu chia hết, sau đó xếp ba chữ số còn lại vào ba vị trí đầu.

Vậy: a) có $10$ số chia hết cho $2$: $2350,2530,3052,3250,3502,3520,5032,5230,5302,5320$. b) có $10$ số chia hết cho $5$: $2035,2305,2350,2530,3025,3205,3250,3520,5230,5320$. c) có $6$ số chia hết cho cả $2$ và $5$: $2350,2530,3250,3520,5230,5320$.

Có thể liệt kê hết các số có bốn chữ số khác nhau tạo từ $0,2,3,5$ (hàng nghìn khác $0$), rồi lọc ra những số thỏa từng câu, dùng để kiểm chứng lại Cách 1.

Lọc tiếp các số vừa chẵn vừa tận cùng $0$ hoặc $5$ (tức tận cùng $0$): được đúng $6$ số, trùng khớp hoàn toàn với kết quả câu c ở Cách 1.

Với mỗi câu, đếm số cách chọn chữ số tận cùng hợp lệ, nhân với số cách xếp ba chữ số còn lại vào ba vị trí đầu (trừ các cách có $0$ ở hàng nghìn), không cần liệt kê từng số cụ thể.

Vậy đếm được $10$ số ở câu a, $10$ số ở câu b, $6$ số ở câu c — khớp hoàn toàn với số lượng đã liệt kê ở Cách 1 và Cách 2.

Vì $n$ chia hết cho $5$ nên chữ số tận cùng $b$ chỉ có thể là $0$ hoặc $5$; xét lần lượt hai trường hợp rồi áp dụng dấu hiệu chia hết cho $9$.

Vậy có hai cặp chữ số thỏa mãn: $(a;b)=(1;0)$ cho $n=32310$, và $(a;b)=(5;5)$ cho $n=32355$.

Với mỗi giá trị $b\in \{0,5\}$ đã biết từ dấu hiệu chia hết cho $5$, thử lần lượt $a$ từ $0$ đến $9$ và kiểm tra $n$ có chia hết cho $9$ không.

Vậy $(a;b)=(1;0)$ hoặc $(5;5)$, khớp hoàn toàn với kết quả ở Cách 1.

Gọi $x$ là số chiếc bút, $y$ là số quyển vở đã mua ($x,y$ là số nguyên dương). Theo đề bài, tổng số tiền là $17x+5y=165$ (nghìn đồng).

Vậy mẹ Mai đã mua $5$ chiếc bút và $16$ quyển vở.

Vì $17x<165$ nên $x$ chỉ có thể nhận các giá trị nguyên dương từ $1$ đến $9$. Với mỗi giá trị, tính $165-17x$ rồi kiểm tra có chia hết cho $5$ không.

Chỉ có $x=5$ cho $y=16$ là nghiệm nguyên dương hợp lệ, khớp với kết quả ở Cách 1. Vậy mẹ Mai đã mua $5$ chiếc bút và $16$ quyển vở.

Số $10^{12}$ viết ra gồm chữ số $1$ theo sau là $12$ chữ số $0$; từ đó xác định các chữ số của $A$ và $B$ rồi tính tổng các chữ số.

Vậy $A=10^{12}+1$ không chia hết cho $3$, còn $B=10^{12}+2$ chia hết cho $3$.

Có thể xét trước số dư của $10^{12}$ khi chia cho $3$, rồi cộng thêm số dư của phần cộng vào để suy ra số dư của cả tổng.

Câu b: $B=10^{12}+2$ chia cho $3$ dư $1+2=3$, mà $3$ chia hết cho $3$ nên số dư thực chất là $0$, do đó $B$ chia hết cho $3$ — kết quả khớp với Cách 1.

Tương tự bài trước, $10^{12}$ gồm chữ số $1$ theo sau là $12$ chữ số $0$; từ đó xác định tổng các chữ số của $A$ và $B$.

Vậy $A=10^{12}+7$ không chia hết cho $9$, còn $B=10^{12}+8$ chia hết cho $9$.

Xét số dư của $10^{12}$ khi chia cho $9$ trước, rồi cộng thêm số hạng còn lại để suy ra số dư của cả tổng.

Câu b: $B=10^{12}+8$ chia cho $9$ dư $1+8=9$, mà $9$ chia hết cho $9$ nên số dư thực chất là $0$, do đó $B$ chia hết cho $9$ — kết quả khớp với Cách 1.