Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định hướng. Muốn tìm điểm cao nhất, thấp nhất của đồ thị trên đoạn $[0;3]$ thì tìm chỗ tiếp tuyến nằm ngang (đạo hàm bằng $0$) rồi so với hai đầu mút.

Vậy $M=3$ tại $x_0=3$ ; $m=-1$ tại $x_0=1$.

Định hướng. Đồ thị đã vẽ sẵn nên chỉ cần quan sát điểm thấp nhất và điểm cao nhất của nhánh đường cong trên đoạn $[0;3]$.

Vậy $M=3$ tại $x_0=3$ ; $m=-1$ tại $x_0=1$.

Định hướng. Viết $y$ dưới dạng bình phương để chặn một lượt cả hai đầu, không cần đạo hàm cũng không cần đồ thị.

Vậy $M=3$ tại $x_0=3$ ; $m=-1$ tại $x_0=1$.

Nhận xét. Cách 1 dùng được cho mọi hàm số kể cả khi chưa có đồ thị; Cách 2 chỉ dùng được khi đồ thị đã vẽ chính xác. Cách 3 giải thích được điều mà hai cách kia chỉ cho ra số: GTLN rơi vào đầu mút $x=3$ vì trên $[0;3]$ khoảng cách $|x-1|$ đạt lớn nhất tại $x=3$.

Định hướng. Đồ thị trên đoạn $[-1;2]$ có một chỗ lõm xuống ở giữa, nên GTLN, GTNN chỉ có thể rơi vào đầu mút hoặc đúng chỗ tiếp tuyến nằm ngang.

Vậy $\underset{[-1;2]}{\min }f(x)=f(-1)=-2$ và $\underset{[-1;2]}{\max }f(x)=f(0)=f(2)=1$, đúng bằng số nhỏ nhất và số lớn nhất vừa tính ở câu c).

Định hướng. Dấu của $f^{\prime }(x)$ cho biết hàm số tăng hay giảm trên từng khoảng, từ đó xác định ngay chỗ đạt GTLN, GTNN mà không cần vẽ đồ thị trước.

Vậy $\underset{[-1;2]}{\min }f(x)=-2$ tại $x=-1$; $\underset{[-1;2]}{\max }f(x)=1$ tại $x=0$ và $x=2$.

Định hướng. Đưa hai bất đẳng thức $f(x)\le 1$ và $f(x)\ge -2$ về dạng tích các nhân tử có dấu xác định trên $[-1;2]$, khỏi cần đạo hàm và khỏi cần đồ thị.

Vậy $\underset{[-1;2]}{\min }f(x)=f(-1)=-2$ và $\underset{[-1;2]}{\max }f(x)=f(0)=f(2)=1$, đúng bằng số nhỏ nhất và số lớn nhất đã tính ở câu c).

Nhận xét. Điểm $x=\frac{4}{3}$ tuy là điểm cực tiểu nhưng giá trị $-\frac{5}{27}$ tại đó vẫn lớn hơn $-2$ tại đầu mút $x=-1$, nên GTNN trên đoạn lại rơi vào đầu mút chứ không phải điểm cực trị. Cách 3 chứng minh điều đó thành một bất đẳng thức đúng với mọi $x$ trên đoạn, nên vừa là lời giải vừa là phép kiểm tra chéo cho hai cách trước.

Định hướng. Tìm miền xác định trước, rồi xét dấu đạo hàm để lập bảng biến thiên và đọc GTLN, GTNN.

Vậy a) $\underset{[0;2]}{\max }y=1$ tại $x=1$, $\underset{[0;2]}{\min }y=0$ tại $x=0$ và $x=2$; b) hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên $(1;+\infty )$.

Định hướng. Đưa biểu thức dưới căn về dạng bình phương để đánh giá dấu bằng, và đặt ẩn phụ để xét chiều của hàm phân thức, không cần đạo hàm trực tiếp trên biến ban đầu.

Vậy a) $\max y=1$ tại $x=1$, $\min y=0$ tại $x=0$ và $x=2$; b) hàm số không có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất trên $(1;+\infty )$.

Định hướng. Câu a) bình phương hai vế để nhận ra một nửa đường tròn, đọc ngay khoảng giá trị của tung độ; câu b) chỉ cần nhận xét $y$ là tổng của hai hàm cùng giảm.

Vậy a) $\max y=1$ tại $x=1$, $\min y=0$ tại $x=0$ và $x=2$; b) tập giá trị là $\mathbb{R}$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên $(1;+\infty )$.

Nhận xét. Ở câu b), đạo hàm luôn âm nên hàm số giảm suốt khoảng, hai đầu đều tiến ra vô cực nên không tồn tại GTLN lẫn GTNN — khác với ví dụ dạng $x-2+\frac{1}{x}$ trong bài học, nơi hàm số vẫn có GTNN dù một đầu tiến ra vô cực. Cách 3 cho thấy chỉ cần tính đơn điệu của TỔNG là đủ, không phải hàm nào cũng buộc lấy đạo hàm.

Định hướng. Áp dụng đúng ba bước: tìm điểm làm đạo hàm triệt tiêu trong khoảng mở, tính giá trị tại các điểm đó và tại hai đầu mút, rồi so sánh.

Vậy a) $\underset{[0;2]}{\min }y=2$ tại $x=0$, $\underset{[0;2]}{\max }y=16$ tại $x=2$; b) $\underset{[-1;1]}{\min }y=0$ tại $x=-1$, $\underset{[-1;1]}{\max }y=1$ tại $x=0$.

Định hướng. Nếu biết trước chiều biến thiên (tăng hẳn, hoặc tăng rồi giảm) thì chỉ cần tính đúng các giá trị cần thiết mà không cần liệt kê hết rồi so sánh.

Vậy a) $\min y=2$ tại $x=0$, $\max y=16$ tại $x=2$; b) $\max y=1$ tại $x=0$, $\min y=0$ tại $x=-1$.

Định hướng. Câu a) dịch trục để mất hẳn số hạng bậc hai, khi đó tính tăng của hàm hiện ra không cần xét dấu gì; câu b) chặn trên bằng bất đẳng thức nền $e^x\ge x+1$.

Vậy a) $\min y=2$ tại $x=0$, $\max y=16$ tại $x=2$; b) $\max y=1$ tại $x=0$, $\min y=0$ tại $x=-1$.

Nhận xét. Ở câu a), $y^{\prime }$ luôn dương nên không có điểm nào làm $y^{\prime }=0$ trong khoảng mở — khi đó GTLN, GTNN chắc chắn nằm ở hai đầu mút. Cách 3 nói lại đúng điều đó mà không cần đạo hàm: sau khi dịch trục, $y=2t^3+\frac{7}{2}t+4$ là tổng của hai hàm tăng nên bắt buộc tăng.

Định hướng. Câu a) tìm GTLN của $N(t)$; câu b) tìm GTLN của chính hàm tốc độ $N^{\prime }(t)$, nên phải đạo hàm thêm một lần nữa.

Vậy a) số người nhiễm tối đa là $N(8)=256$ (trăm người), tức $25600$ người, đạt tại tuần thứ $8$; b) virus lây lan nhanh nhất tại $t=4$ (tuần), khi đó tốc độ lây lan là $48$ (trăm người/tuần).

Định hướng. Hàm tốc độ $N^{\prime }(t)=-3t^2+24t$ là một parabol quay xuống, nên GTLN của nó chính là tung độ đỉnh — không cần đạo hàm lần hai.

Vậy a) số người nhiễm tối đa là $256$ (trăm người) $=25600$ người tại tuần thứ $8$; b) tốc độ lây lan lớn nhất là $48$ (trăm người/tuần) tại $t=4$ (tuần).

Định hướng. Câu a) đưa hiệu $256-N(t)$ về một tích có dấu xác định trên $[0;12]$; câu b) nhận ra hàm tốc độ là parabol đã biết trước hai nghiệm nên đỉnh nằm ngay trung điểm hai nghiệm.

Vậy a) số người nhiễm tối đa là $N(8)=256$ (trăm người), tức $25600$ người, đạt ở tuần thứ $8$; b) tốc độ lây lan lớn nhất là $N^{\prime }(4)=48$ (trăm người/tuần), tại $t=4$ (tuần).

Nhận xét. Đưa $N^{\prime }(t)$ về dạng đỉnh $-3(t-4{)}^2+48$ hay dùng trục đối xứng $t=\frac{0+8}{2}$ đều cho ngay GTLN mà không cần bảng biến thiên, vì $N^{\prime }(t)$ là hàm bậc hai. Đẳng thức $256-N(t)=(t-8{)}^2(t+4)$ ở Cách 3 còn nói thêm một điều mà đạo hàm không nói: nhân tử bình phương $(t-8{)}^2$ chính là lí do đồ thị $N$ tiếp xúc đường nằm ngang $N=256$ tại $t=8$.

Định hướng. Xác định miền của từng hàm rồi lập bảng biến thiên; chú ý câu b), c) có miền không bị chặn nên phải xét thêm giới hạn.

Vậy a) $\max y=7$ tại $x=2$, không có GTNN; b) $\underset{[0;+\infty )}{\min }y=-\frac{5}{27}$ tại $x=\frac{4}{3}$, không có GTLN; c) $\underset{(1;+\infty )}{\min }y=2\sqrt{2}$ tại $x=1+\sqrt{2}$, không có GTLN; d) $\max y=\sqrt{2}$ tại $x=1$, $\min y=0$ tại $x=0$ và $x=2$.

Định hướng. Nhiều hàm ở đây đưa được về dạng bình phương hoặc tổng Cauchy, cho phép chỉ ra GTLN, GTNN mà không cần đạo hàm.

Vậy a) $\max y=7$, không có GTNN; b) $\min y=-\frac{5}{27}$, không có GTLN; c) $\min y=2\sqrt{2}$, không có GTLN; d) $\max y=\sqrt{2}$, $\min y=0$.

Định hướng. Coi $m$ là một giá trị của hàm số rồi hỏi ngược: với $m$ nào thì phương trình $y=m$ có nghiệm trên miền đã cho — tập các $m$ ấy chính là tập giá trị, GTLN và GTNN đọc thẳng từ đó.

Vậy a) $\max y=7$ tại $x=2$, không có GTNN; b) $\min y=-\frac{5}{27}$ tại $x=\frac{4}{3}$, không có GTLN; c) $\min y=2\sqrt{2}$ tại $x=1+\sqrt{2}$, không có GTLN; d) $\max y=\sqrt{2}$ tại $x=1$, $\min y=0$ tại $x=0$ và $x=2$.

Nhận xét. Cách 2 nhanh gọn cho các hàm quy được về bình phương hoặc dạng Cauchy $t+\frac{a}{t}$, nhưng không phải hàm nào cũng đưa về được. Cách 3 mạnh hơn ở chỗ nó trả lời trực tiếp câu hỏi «hàm này nhận được những giá trị nào»: ra luôn tập giá trị $(-\infty ;7]$, $\left[2\sqrt{2};+\infty \right)$, $\left[0;\sqrt{2}\right]$ nên câu «có GTLN hay không» không còn phải bàn.

Định hướng. Với miền vô hạn (câu a, b, c) phải xét thêm giới hạn ở biên; với miền hữu hạn (câu d) chỉ cần so hai đầu mút và điểm tới hạn.

Vậy a) $\min y=2$ tại $x=\pm 1$, không có GTLN; b) $\max y=\frac{1}{e}$ tại $x=1$, không có GTNN; c) $\min y=-\frac{1}{e}$ tại $x=\frac{1}{e}$, không có GTLN; d) $\max y=2$ tại $x=2$, $\min y=\sqrt{2}$ tại $x=1$ và $x=3$.

Định hướng. Câu a) đưa về bình phương đúng, câu d) dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thay cho đạo hàm; câu b), c) vẫn phải dùng đạo hàm vì có hàm mũ, hàm loga.

Vậy a) $\min y=2$ tại $x=\pm 1$, không có GTLN; d) $\max y=2$ tại $x=2$, $\min y=\sqrt{2}$ tại $x=1$ và $x=3$; hai câu b), c) vẫn giữ kết quả như Cách 1.

Định hướng. Câu a) hạ bậc bằng ẩn phụ $t=x^2$; câu b), c) chặn ngay bằng hai bất đẳng thức nền $e^{x-1}\ge x$ và $\ln u\ge 1-\frac{1}{u}$; câu d) đổi biến lượng giác để tổng hai căn gộp thành một hàm sin.

Vậy a) $\min y=2$ tại $x=\pm 1$, không có GTLN; b) $\max y=\frac{1}{e}$ tại $x=1$, không có GTNN; c) $\min y=-\frac{1}{e}$ tại $x=\frac{1}{e}$, không có GTLN; d) $\max y=2$ tại $x=2$, $\min y=\sqrt{2}$ tại $x=1$ và $x=3$.

Nhận xét. Cách 2 chỉ với tới được câu a) và câu d), còn hàm mũ, hàm loga ở câu b), c) thì bí. Cách 3 phủ kín cả bốn câu nhờ hai bất đẳng thức nền $e^{x-1}\ge x$ và $\ln u\ge 1-\frac{1}{u}$ — cùng một bất đẳng thức viết theo hai chiều, dấu bằng đều ở $x=1$, đáng học thuộc. Ở câu d), phép đặt $x=1+2{\sin }^2\alpha$ biến tổng hai căn thành $2\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ nên thấy ngay vì sao hai đầu mút cho cùng một giá trị.

Định hướng. Cả bốn hàm đều xét trên đoạn nên chỉ cần đúng ba bước: tìm điểm tới hạn trong khoảng mở, tính giá trị tại đó và tại hai đầu mút, rồi so sánh.

Vậy a) $\max y=7$ tại $x=-1,x=2$, $\min y=-1$ tại $x=1$; b) $\max y=56$ tại $x=3$, $\min y=-\frac{1}{4}$ tại $x=\sqrt{\frac{3}{2}}$; c) $\max y=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x=\frac{5\pi }{6}$, $\min y=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{6}$; d) $\max y=0$ tại $x=0,x=1$, $\min y=(2-\sqrt{5})e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ tại $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Định hướng. Dựng bảng biến thiên đầy đủ (xét dấu đạo hàm trên từng khoảng con) để thấy hàm tăng giảm ra sao, từ đó đọc luôn GTLN, GTNN.