Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Định hướng. Điểm $H$ có cùng hoành độ với $M$ nên $MH$ chính là chênh lệch tung độ; tách $f(x)$ thành phần hằng và phần dần về $0$ thì kết quả lộ ra ngay.

Vậy $MH=\frac{1}{x}$ và $MH\to 0$ khi $x\to +\infty$.

Định hướng. Viết đường thẳng $y=2$ dưới dạng tổng quát rồi áp dụng công thức khoảng cách, sau cùng thử vài giá trị của $x$ để thấy rõ xu thế.

Vậy $MH$ giảm dần về $0$ khi $x$ tăng vô hạn, tức là điểm $M$ dần sát vào đường thẳng $y=2$.

Nhận xét. Khoảng cách $MH=\frac{1}{x}$ luôn dương nên đồ thị $(C)$ không bao giờ cắt đường thẳng $y=2$, nó chỉ tiến sát mãi mãi. Đó là hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang $y=2$.

Định hướng. Thay vì chỉ mô tả xu thế, ta chỉ rõ: muốn $MH$ nhỏ hơn một số dương $\epsilon$ bất kì thì hoành độ của $M$ phải lớn hơn bao nhiêu.

Vậy với mọi số dương $\epsilon$ nhỏ tuỳ ý, chỉ cần $x>\frac{1}{\epsilon }$ là $MH<\epsilon$; do đó $MH\to 0$ khi $x\to +\infty$.

Nhận xét. Đây chính là định nghĩa giới hạn viết bằng bất phương trình: khoảng cách nhỏ hơn mọi ngưỡng cho trước, miễn là lấy $x$ đủ lớn. Cách viết này về sau dùng lại được cho tiệm cận xiên.

Định hướng. Bậc của tử bằng bậc của mẫu nên chia cả tử và mẫu cho $x$, khi đó mọi số hạng chứa $x$ ở mẫu đều dần về $0$.

Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$.

Định hướng. Viết $f(x)$ thành tổng của một hằng số với một phân thức dần về $0$ thì tiệm cận ngang chính là hằng số đó.

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng $y=2$.

Nhận xét. Dạng tách $f(x)=2+\frac{1}{x-1}$ còn cho biết luôn đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, đồng thời nằm phía trên đường thẳng $y=2$ khi $x>1$ và phía dưới khi $x<1$.

Định hướng. Đặt $t=\frac{1}{x}$ thì $x\to \pm \infty$ trở thành $t\to 0$; lúc đó chỉ còn thay $t=0$ vào một phân thức không còn dạng vô định.

Vậy $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=2$, đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$.

Nhận xét. Phép đổi biến $t=\frac{1}{x}$ biến mọi giới hạn ở vô cực thành giới hạn tại $0$, nên dùng được cả cho những hàm chứa căn mà phép tách phần nguyên không áp dụng được.

Định hướng. Đưa luỹ thừa có số mũ âm xuống mẫu, khi đó mẫu tăng vô hạn còn tử không đổi.

Vậy khối lượng còn lại giảm dần về $0$; đồ thị hàm số $m(t)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $m=0$, tức là trục hoành.

Định hướng. Chứng tỏ khối lượng luôn giảm mà luôn dương, rồi đối chiếu với dáng điệu của đường cong trên Hình 1.18.

Vậy hàm số $m(t)$ nghịch biến, luôn dương và giảm dần về $0$; trên Hình 1.18 đường cong đi xuống từ điểm $(0;15)$, càng ngày càng sát trục hoành mà không cắt trục này.

Nhận xét. Về mặt thực tiễn, chất phóng xạ phân rã mãi mà không bao giờ hết hẳn: khối lượng còn lại luôn dương nhưng nhỏ tuỳ ý khi thời gian đủ dài.

Định hướng. Tìm khoảng thời gian $T$ mà sau đó khối lượng còn đúng một nửa; khi ấy khối lượng tại các mốc $T$, $2T$, $3T$, … là một dãy chia đôi liên tiếp.

Vậy khối lượng giảm liên tục và cứ sau khoảng $57,76$ ngày lại còn một nửa, do đó $\underset{t\to +\infty }{\lim }m(t)=0$: đồ thị hàm số $m(t)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $m=0$.

Nhận xét. Mỗi lần chia đôi chỉ làm khối lượng nhỏ đi chứ không mất đi, đó là lí do đồ thị áp sát trục hoành mà không bao giờ cắt trục này.

Định hướng. Điểm $H$ có cùng tung độ với $M$ nên $MH$ là chênh lệch hoành độ; cho $MH$ dần về $0$ tức là cho $x$ dần tới $1$ từ bên phải.

Vậy $MH=x-1$; khi $MH$ dần đến $0$ thì tung độ của điểm $M$ tăng lên vô hạn.

Định hướng. Đặt $t=x-1$ để khoảng cách $MH$ trở thành chính $t$, khi đó tung độ của $M$ chỉ còn phụ thuộc vào $\frac{1}{t}$.

Vậy tung độ của điểm $M$ lớn vô hạn khi khoảng cách $MH$ dần đến $0$.

Nhận xét. Đó là hình ảnh của tiệm cận đứng: điểm $M$ trên đồ thị càng lại gần đường thẳng $x=1$ thì càng chạy lên cao vô tận. Nếu xét phía $x<1$ thì tung độ lại giảm xuống $-\infty$.

Định hướng. Đảo chiều câu hỏi — cho trước một số $K>1$ lớn tuỳ ý, tìm xem $MH$ phải nhỏ hơn bao nhiêu thì tung độ của điểm $M$ vượt quá $K$.

Vậy với mọi số $K$ lớn tuỳ ý, chỉ cần $MH<\frac{1}{K-1}$ là tung độ của $M$ vượt quá $K$; do đó tung độ của $M$ lớn vô hạn khi $MH$ dần đến $0$.

Nhận xét. Đó đúng là nội dung của $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$ viết dưới dạng bất phương trình: ngưỡng cao bao nhiêu cũng bị vượt qua, miễn là $M$ lại đủ gần đường thẳng $x=1$.

Định hướng. Chia tử và mẫu cho $x$ để lấy giới hạn ở vô cực, rồi xét riêng hai phía của điểm làm mẫu triệt tiêu.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$ và tiệm cận đứng là đường thẳng $x=4$.

Định hướng. Đưa $f(x)$ về dạng một hằng số cộng với một phân thức đơn giản, khi đó cả hai loại tiệm cận cùng lộ ra.

Vậy tiệm cận ngang $y=2$, tiệm cận đứng $x=4$.

Nhận xét. Với hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\ne 0$, $ad-bc\ne 0$), tiệm cận đứng luôn là $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang luôn là $y=\frac{a}{c}$.

Định hướng. Đưa $f(x)$ về dạng tịnh tiến của một hypebol đã biết rõ hai tiệm cận; phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=(4;2)$ biến hai trục toạ độ thành hai tiệm cận của đồ thị mới, nên không phải tính giới hạn nào.

Vậy đồ thị đã cho là hypebol $Y=\frac{9}{X}$ sau phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{u}=(4;2)$, nên hai tiệm cận của nó là $x=4$ và $y=2$.

Nhận xét. Cách nhìn này còn cho biết tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai tiệm cận, ở bài này là điểm $I(4;2)$: thật vậy $f(4+t)+f(4-t)=4$ với mọi $t\ne 0$.

Định hướng. Điểm làm mẫu triệt tiêu là $p=100$; vì miền giá trị chỉ tới sát $100$ nên chỉ cần giới hạn bên trái.

Vậy đồ thị hàm số $C(p)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $p=100$.

Định hướng. Tách $C(p)$ thành hằng số cộng một phân thức, rồi thử vài giá trị của $p$ tiến sát $100$ để thấy chi phí vọt lên.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $p=100$.

Nhận xét. Ý nghĩa thực tiễn: càng muốn làm sạch triệt để thì chi phí càng đội lên rất nhanh. Khi tỉ lệ tảo độc cần loại bỏ tiến tới $100\%$ thì chi phí tăng vô hạn, nghĩa là không thể loại bỏ hoàn toàn loài tảo này với một khoản tiền hữu hạn.

Định hướng. Đảo bài toán — cho trước số tiền $M$ triệu đồng, giải bất phương trình $C(p)>M$ để thấy không ngân sách hữu hạn nào đưa được $p$ tới $100$.

Vậy ứng với mỗi số tiền hữu hạn $M$, tỉ lệ xử lí được luôn nhỏ hơn $100\%$; chi phí tăng không giới hạn khi $p\to 100^{-}$, nên đồ thị hàm số $C(p)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $p=100$.

Nhận xét. Muốn nâng tỉ lệ xử lí từ $95,69\%$ lên $99,55\%$ phải tăng ngân sách gấp $10$ lần — đó chính là ý nghĩa kinh tế của đường tiệm cận đứng $p=100$.

Định hướng. Đưa đường thẳng về dạng tổng quát rồi tính thẳng khoảng cách $MH$ theo $x$; hiệu $f(x)-(x-1)$ xuất hiện ngay trong công thức đó.

Vậy $MH\to 0$ khi $x\to +\infty$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)-(x-1)\right]=0$: đồ thị $(C)$ càng ngày càng sát vào đường thẳng $y=x-1$.

Định hướng. Khoảng cách đo theo phương thẳng đứng luôn không nhỏ hơn khoảng cách vuông góc, nên chỉ cần chặn đại lượng dễ tính đó rồi cho dần về $0$.

Vậy hiệu $f(x)-(x-1)$ dần về $0$; trên Hình 1.24 đồ thị $(C)$ áp sát đường thẳng $y=x-1$ khi $x\to +\infty$.

Nhận xét. Đường thẳng $y=x-1$ chính là tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$. Khi $x\to -\infty$ ta cũng có $\frac{2}{x+1}\to 0$ nên đồ thị áp sát đường thẳng đó ở cả hai đầu.

Định hướng. Đường thẳng $y=x-1$ có hệ số góc $1$ nên nghiêng $45^{\circ }$; tam giác tạo bởi $M$, chân đường vuông góc $H$ và giao điểm $N$ của đường thẳng đứng qua $M$ với $y=x-1$ là tam giác vuông cân, nhờ đó suy được $MH$ từ $MN$ mà không cần công thức khoảng cách.

Vậy $MH=\frac{\sqrt{2}}{x+1}\to 0$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)-(x-1)\right]=0$: trên Hình 1.24 đồ thị $(C)$ áp sát đường thẳng $y=x-1$ khi $x\to +\infty$.

Nhận xét. Với tiệm cận xiên $y=ax+b$ bất kì, khoảng cách vuông góc và khoảng cách thẳng đứng chỉ chênh nhau hệ số không đổi $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$, nên hai đại lượng đó luôn cùng dần về $0$.

Định hướng. Bậc tử hơn bậc mẫu một đơn vị nên chia được thành một nhị thức bậc nhất cộng một phân thức dần về $0$; nhị thức đó chính là tiệm cận xiên.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y=-x+3$.

Định hướng. Áp dụng đúng hai công thức giới hạn xác định tiệm cận xiên, rồi xét riêng hai giới hạn một phía tại điểm làm mẫu triệt tiêu.

Vậy tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=-x+3$.

Nhận xét. Bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng một đơn vị nên đồ thị chắc chắn có tiệm cận xiên và không có tiệm cận ngang.

Định hướng. Đặt $t=x-1$ đưa điểm $x=1$ về $t=0$; khi đó hàm số tách thành một nhị thức bậc nhất theo $t$ cộng $\frac{1}{t}$, cả hai tiệm cận cùng hiện ra trên một dòng.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y=-x+3$.

Nhận xét. Sau phép đổi biến, hàm số về đúng dạng mẫu mực $y=\alpha t+\beta +\frac{k}{t}$; mọi phân thức bậc hai trên bậc nhất (tử không chia hết cho mẫu) đều đưa được về dạng này, nên luôn có một tiệm cận đứng và một tiệm cận xiên.

Định hướng. Hai nhánh ngoài cùng của đồ thị áp sát đường thẳng $y=2$; nhánh ở giữa chạy xuống dưới khi $x$ tiến tới $1$ từ bên trái và khi $x$ tiến tới $-1$ từ bên phải.

Vậy đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$ và hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $x=-1$, $x=1$.

Định hướng. Tách $f(x)$ thành hằng số cộng một phân thức rồi xét dấu của mẫu ở từng phía để khẳng định lại các kết quả đọc trên đồ thị.

Vậy tiệm cận ngang $y=2$; tiệm cận đứng $x=-1$ và $x=1$.

Nhận xét. Vì $f(-x)=f(x)$ nên đồ thị nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng, do đó hai tiệm cận đứng đối xứng nhau qua trục $Oy$.

Định hướng. Hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục $Oy$; chỉ cần tính hai giới hạn ở phía $x>0$ rồi lấy đối xứng là có đủ bốn kết quả, số phép tính giảm đi một nửa.